📊 Đại Số

Hằng đẳng thức, phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức

Trang chủ → Đại số
📌

7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ

Bình phương của tổng

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Ghi nhớ: "Bình phương số thứ nhất, cộng 2 lần tích hai số, cộng bình phương số thứ hai."

Bình phương của hiệu

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Ghi nhớ: "Giống bình phương tổng, nhưng đổi dấu ở giữa."

Hiệu hai bình phương

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Ứng dụng: Rất hữu ích khi phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ: $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$

Lập phương của tổng

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Dạng rút gọn: $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

Lập phương của hiệu

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Dạng rút gọn: $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$

Tổng hai lập phương

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Ghi nhớ: Nhân tử thứ hai là "bình phương số thứ nhất, TRỪ tích hai số, cộng bình phương số thứ hai."

Hiệu hai lập phương

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Ghi nhớ: Nhân tử thứ hai là "bình phương số thứ nhất, CỘNG tích hai số, cộng bình phương số thứ hai."

🔢

Phương Trình Bậc Hai

📘 Dạng tổng quát

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

Công thức nghiệm (Delta)

\Delta = b^2 - 4ac
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Điều kiện:
• $\Delta > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
• $\Delta = 0$: Phương trình có nghiệm kép $x = -\frac{b}{2a}$
• $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm (trong ℝ)

Công thức nghiệm thu gọn

\Delta' = b'^2 - ac \quad \text{(với } b = 2b'\text{)}
x = \frac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}

Khi nào dùng: Sử dụng khi hệ số $b$ là số chẵn để tính toán đơn giản hơn.

Định lý Vi-ét

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Ứng dụng: Tìm hai số khi biết tổng và tích. Kiểm tra nghiệm nhanh.

💡 Ví dụ

Phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có:

• Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = 5$

• Tích hai nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = 6$

⟹ Hai nghiệm là $x_1 = 2$ và $x_2 = 3$

🔗

Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

📘 Dạng tổng quát

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

Công thức Cramer

D = a_1b_2 - a_2b_1
x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{D} \quad ; \quad y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{D}

Điều kiện: $D \neq 0$ (hệ có nghiệm duy nhất)
Ghi nhớ: $D$ là định thức của ma trận hệ số.

Phương pháp thế

Các bước:
1. Từ một phương trình, rút $x$ (hoặc $y$) theo ẩn còn lại
2. Thay vào phương trình kia
3. Giải phương trình một ẩn
4. Suy ra ẩn còn lại

Phương pháp cộng đại số

Các bước:
1. Nhân các phương trình với hệ số thích hợp để hệ số của một ẩn bằng nhau (hoặc đối nhau)
2. Cộng (hoặc trừ) hai phương trình để khử một ẩn
3. Giải phương trình một ẩn
4. Suy ra ẩn còn lại

⚖️

Bất Đẳng Thức

Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad (a, b \geq 0)

Phát biểu: Trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân.
Dấu "=" xảy ra khi: $a = b$

Bất đẳng thức Cauchy mở rộng

\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}

Áp dụng cho $n$ số không âm.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)

Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$ (các phân số tương đương)

Hệ quả quan trọng

a + b \geq 2\sqrt{ab} \quad (a, b > 0)
a^2 + b^2 \geq 2ab
a^2 + b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}
🌍

Ứng Dụng Thực Tế Của Đại Số

💰 Tài chính & Lãi suất

Phương trình bậc 2 được dùng để tính lãi kép, dự đoán lợi nhuận đầu tư.

💡 Ví dụ: Gửi tiết kiệm

Bạn gửi 10 triệu với lãi suất $r$ (lãi kép hàng năm). Sau 2 năm:

V = 10{,}000{,}000 \times (1 + r)^2

Nếu $r = 7\%$ thì: $V = 10,000,000 \times (1.07)^2 = 11,449,000đ$

🚀 Vật lý - Chuyển động ném

Quỹ đạo của vật ném xiên là parabol - được mô tả bởi phương trình bậc 2!

💡 Ví dụ: Ném bóng rổ

Quỹ đạo bóng: $y = -0.05x^2 + 0.8x + 1.8$

Trong đó $y$ là độ cao (m), $x$ là khoảng cách ngang (m)

Độ cao tối đa: Tại đỉnh parabol khi $x = -\frac{b}{2a} = \frac{0.8}{0.1} = 8m$

📈 Đồ thị Parabol Tương Tác

Tương tác

Thay đổi hệ số $a$, $b$, $c$ để xem parabol $y = ax^2 + bx + c$ thay đổi như thế nào!

Δ = 0

Đỉnh: (0, 0)

Nghiệm: x = 0

📊 Kinh tế - Lợi nhuận tối đa

Doanh nghiệp dùng phương trình bậc 2 để tìm giá bán tối ưu, số lượng sản xuất tối ưu.

💡 Ví dụ: Tối ưu hóa lợi nhuận

Hàm lợi nhuận khi bán $x$ sản phẩm: $P(x) = -2x^2 + 100x - 500$

Số lượng tối ưu: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{-4} = 25$ sản phẩm

Lợi nhuận tối đa: $P(25) = -2(625) + 2500 - 500 = 750$ triệu

🎮 Thiết kế Game

Hằng đẳng thức được dùng để tính khoảng cách, va chạm trong game.

💡 Ví dụ: Khoảng cách 2 điểm

Khoảng cách từ player tại $(x_1, y_1)$ đến enemy tại $(x_2, y_2)$:

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Công thức này dựa trên hằng đẳng thức $(a-b)^2$!

🏠 Xây dựng & Kiến trúc

AM-GM giúp tìm kích thước tối ưu với diện tích/thể tích cho trước.

💡 Ví dụ: Hàng rào tối ưu

Có 40m dây thép làm hàng rào hình chữ nhật. Kích thước tối ưu?

Chu vi: $2(a+b) = 40 \Rightarrow a + b = 20$

Diện tích: $S = ab \leq \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{400}{4} = 100m^2$

Tối ưu khi: $a = b = 10m$ (hình vuông)