Xác Suất & Thống Kê - Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Công Thức Bernoulli | Không Gian AI

🔢

Quy Tắc Đếm Cơ Bản

Quy tắc cộng

Nếu một công việc có thể thực hiện theo cách A HOẶC cách B, trong đó cách A có $m$ phương án và cách B có $n$ phương án, thì tổng số cách thực hiện là:

m + n

Quy tắc nhân

Nếu một công việc phải thực hiện cả bước A VÀ bước B, trong đó bước A có $m$ cách và bước B có $n$ cách, thì tổng số cách thực hiện là:

m \times n

🎯

Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp

📘 Giai thừa

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1

Quy ước: $0! = 1$
Ví dụ: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Hoán vị (Permutation)

P_n = n!

Ý nghĩa: Số cách sắp xếp $n$ phần tử khác nhau theo thứ tự.
Ví dụ: Số cách xếp 5 người vào 5 ghế là $P_5 = 5! = 120$

Chỉnh hợp (Arrangement)

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)

Ý nghĩa: Số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử có phân biệt thứ tự.
Ví dụ: Số cách chọn 3 người từ 10 người để xếp nhất, nhì, ba là $A_{10}^3 = 720$

Tổ hợp (Combination)

C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}

Ý nghĩa: Số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử không phân biệt thứ tự.
Ví dụ: Số cách chọn 3 người từ 10 người thành một nhóm là $C_{10}^3 = 120$

💡 Phân biệt Chỉnh hợp và Tổ hợp

• Chỉnh hợp: Có thứ tự (ABC ≠ BAC)

• Tổ hợp: Không thứ tự (ABC = BAC)

⟹ $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$ vì mỗi tổ hợp có $k!$ cách sắp xếp

Tính chất tổ hợp

C_n^0 = C_n^n = 1

C_n^k = C_n^{n-k}

C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}

C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 2^n

Nhị thức Newton

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k

Khai triển:
$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + ... + C_n^n b^n$

🎲

Xác Suất

📘 Định nghĩa xác suất cổ điển

P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}

$n(A)$ = số kết quả thuận lợi cho biến cố A
$n(\Omega)$ = tổng số kết quả có thể xảy ra

Tính chất cơ bản

0 \leq P(A) \leq 1

P(\Omega) = 1 \quad ; \quad P(\emptyset) = 0

P(\overline{A}) = 1 - P(A)

$\overline{A}$ là biến cố đối (phần bù) của A

Quy tắc cộng xác suất

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Nếu A và B xung khắc ($A \cap B = \emptyset$):
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Quy tắc nhân xác suất

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

Nếu A và B độc lập:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Xác suất có điều kiện

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

Xác suất xảy ra B biết rằng A đã xảy ra.

Công thức Bernoulli

P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Áp dụng: Xác suất xảy ra đúng $k$ lần thành công trong $n$ phép thử độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công là $p$.

💡 Ví dụ

Tung đồng xu 5 lần, tính xác suất được đúng 3 lần mặt ngửa:

$P = C_5^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125$

📊

Thống Kê Mô Tả

Số trung bình (Mean)

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

Với tần số: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i}{n}$

Trung vị (Median)

Sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần:
• n lẻ: Trung vị = giá trị ở vị trí $\frac{n+1}{2}$
• n chẵn: Trung vị = trung bình cộng 2 giá trị ở vị trí $\frac{n}{2}$ và $\frac{n}{2}+1$

Mốt (Mode)

Giá trị xuất hiện nhiều nhất trong tập dữ liệu.
Một tập dữ liệu có thể có nhiều mốt hoặc không có mốt.

Phương sai (Variance)

S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}

Công thức tính nhanh:
$S^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}

Độ lệch chuẩn càng nhỏ ⟹ dữ liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình.

Tứ phân vị

• Q₁ (25%): Trung vị của nửa dưới dữ liệu
• Q₂ (50%): Trung vị của cả dãy (= Median)
• Q₃ (75%): Trung vị của nửa trên dữ liệu
• IQR: Khoảng tứ phân vị = Q₃ - Q₁

📈

Biến Ngẫu Nhiên (Đại Học)

Kỳ vọng (Expectation)

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)

Kỳ vọng là "giá trị trung bình" của biến ngẫu nhiên.

Phương sai của biến ngẫu nhiên

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)

Phân phối nhị thức

X \sim B(n, p)

E(X) = np \quad ; \quad Var(X) = np(1-p)

Phân phối chuẩn

X \sim N(\mu, \sigma^2)

Quy tắc thực nghiệm:
• 68% dữ liệu nằm trong khoảng $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$
• 95% dữ liệu nằm trong khoảng $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$
• 99.7% dữ liệu nằm trong khoảng $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$

🌍

Ứng Dụng Thực Tế Của Xác Suất & Thống Kê

🏥 Y tế & Dịch tễ học

Xác suất giúp đánh giá độ chính xác của xét nghiệm, dự báo dịch bệnh.

💡 Ví dụ: Xét nghiệm COVID

Xét nghiệm có độ nhạy 95%, độ đặc hiệu 99%. Nếu 1% dân số nhiễm bệnh:

Xác suất nhiễm thật nếu dương tính:

P(\text{nhiễm}|\text{dương}) = \frac{0.95 \times 0.01}{0.95 \times 0.01 + 0.01 \times 0.99} \approx 48.9\%

💰 Bảo hiểm & Tài chính

Công ty bảo hiểm dùng xác suất để tính phí bảo hiểm và đánh giá rủi ro.

💡 Ví dụ: Phí bảo hiểm ô tô

Xác suất tai nạn năm tới: 2%. Chi phí bồi thường trung bình: 50 triệu.

Kỳ vọng chi trả: $E = 0.02 \times 50{,}000{,}000 = 1{,}000{,}000đ$

Phí bảo hiểm tối thiểu: ~1.2 triệu (bao gồm chi phí vận hành)

🎲 Mô phỏng Tung Xúc Xắc

Tương tác

Nhấn "Tung" để xem phân phối xác suất thực tế so với lý thuyết

Tổng số lần tung: 0

Lý thuyết: mỗi mặt 16.67%

🎮 Game & Casino

Tỉ lệ thắng được tính toán chính xác trong mọi game bài, xổ số.

💡 Ví dụ: Xổ số Vietlott Power 6/55

Chọn 6 số từ 55 số. Xác suất trúng giải Jackpot:

P = \frac{1}{C_{55}^6} = \frac{1}{25,827,165} \approx 0.00000387\%

📱 Marketing & A/B Testing

Thống kê giúp đánh giá hiệu quả quảng cáo, sản phẩm mới.

💡 Ví dụ: So sánh 2 giao diện web

Giao diện A: 500 khách, 50 mua (10%)
Giao diện B: 500 khách, 65 mua (13%)

Câu hỏi: Sự khác biệt có ý nghĩa thống kê không?

Dùng kiểm định Chi-bình phương hoặc z-test để kết luận!

🤖 Machine Learning

Nhiều thuật toán ML dựa trên xác suất: Naive Bayes, Logistic Regression, Bayesian Networks.

💡 Ví dụ: Lọc spam email

Xác suất "MIỄN PHÍ" trong email spam: 80%
Xác suất "MIỄN PHÍ" trong email thường: 5%

Naive Bayes: Dùng định lý Bayes để phân loại email mới!

🌤️ Dự báo thời tiết

"70% khả năng mưa" là dựa trên phân tích thống kê nhiều mô hình khí tượng.

💡 Ví dụ: Ensemble Forecasting

Chạy 100 mô hình với điều kiện khởi đầu khác nhau

Nếu 70 mô hình dự báo mưa → Xác suất mưa = 70%

🎲 Xác Suất & Thống Kê