📐 Hình Học

Diện tích, thể tích, lượng giác và hình học không gian

Trang chủ → Hình học
🔺

Công Thức Lượng Giác

Hệ thức cơ bản

\sin^2 x + \cos^2 x = 1
1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}
\tan x \cdot \cot x = 1

Công thức cộng

\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b
\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b
\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}

Công thức nhân đôi

\sin 2x = 2\sin x \cos x
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x
\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

Công thức hạ bậc

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Biến đổi tích thành tổng

\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]
\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]
\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]

Biến đổi tổng thành tích

\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}
\sin a - \sin b = 2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}
\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}
\cos a - \cos b = -2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}
⬜

Diện Tích Hình Phẳng

Tam giác

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
S = \frac{1}{2}ab\sin C
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Trong đó: $p = \frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi (công thức Heron)

Định lý sin - cosin

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

Ghi nhớ: Định lý cosin là dạng tổng quát của định lý Pythagore.

Hình chữ nhật & Hình vuông

S_{hcn} = a \cdot b
S_{vuong} = a^2
d = \sqrt{a^2 + b^2}

$d$ là đường chéo hình chữ nhật

Hình bình hành & Hình thoi

S_{bhh} = a \cdot h = ab\sin\theta
S_{thoi} = \frac{1}{2}d_1 \cdot d_2

$d_1, d_2$ là hai đường chéo của hình thoi

Hình thang

S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h

$a, b$ là hai đáy, $h$ là chiều cao

Hình tròn

S = \pi r^2
C = 2\pi r = \pi d
S_{quat} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2}r^2\alpha \text{ (rad)}
📦

Thể Tích & Diện Tích Xung Quanh

Hình hộp chữ nhật

V = a \cdot b \cdot c
S_{tp} = 2(ab + bc + ca)
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Hình lập phương

V = a^3
S_{tp} = 6a^2
d = a\sqrt{3}

Hình trụ

V = \pi r^2 h
S_{xq} = 2\pi r h
S_{tp} = 2\pi r(r + h)

Hình nón

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h
S_{xq} = \pi r l
l = \sqrt{r^2 + h^2}

$l$ là đường sinh (cạnh bên) của hình nón

Hình cầu

V = \frac{4}{3}\pi r^3
S = 4\pi r^2

Hình chóp

V = \frac{1}{3} S_{đáy} \cdot h

Chóp tam giác đều: $V = \frac{a^2h\sqrt{3}}{12}$
Chóp tứ giác đều: $V = \frac{a^2h}{3}$

Hình lăng trụ

V = S_{đáy} \cdot h
S_{xq} = C_{đáy} \cdot h

$C_{đáy}$ là chu vi đáy

📍

Hình Học Tọa Độ (Mặt Phẳng)

Khoảng cách hai điểm

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Tọa độ trung điểm

M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

Phương trình đường thẳng

ax + by + c = 0
y - y_0 = k(x - x_0)

$k$ là hệ số góc, $(x_0, y_0)$ là điểm thuộc đường thẳng.

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Với $M(x_0, y_0)$ và $\Delta: ax + by + c = 0$

Phương trình đường tròn

(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

Tâm $I(a, b)$, bán kính $R$.

🌍

Ứng Dụng Thực Tế Của Hình Học

🏛️ Kiến trúc & Xây dựng

Định lý Pythagore và công thức diện tích là nền tảng trong xây dựng.

💡 Ví dụ: Kiểm tra góc vuông

Thợ xây dùng quy tắc 3-4-5 để kiểm tra góc vuông:

Nếu ba cạnh có tỷ lệ $3:4:5$ thì tam giác vuông (vì $3^2 + 4^2 = 5^2$)

Thực tế: Đo 3m, 4m, 5m → góc vuông chính xác!

📡 GPS & Định vị

GPS sử dụng khoảng cách và hình học tọa độ để xác định vị trí.

💡 Ví dụ: Tam giác hóa vị trí

GPS cần ít nhất 3 vệ tinh để xác định vị trí (giao của 3 hình cầu)

\text{Vị trí} = \text{giao của } (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r_1^2, \ldots

📐 Minh họa Đường tròn ngoại tiếp

Tương tác

Di chuyển slider để thay đổi tam giác và xem đường tròn ngoại tiếp

Bán kính R: —

Diện tích Δ: —

🎨 Thiết kế & Đồ họa

Công thức lượng giác được dùng trong xoay, phối cảnh, animation.

💡 Ví dụ: Xoay hình trong Photoshop

Khi xoay hình ảnh góc $\theta$, mỗi điểm $(x, y)$ được tính lại:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

🏀 Thể thao

Góc ném, quỹ đạo bóng đều liên quan đến lượng giác và hình học.

💡 Ví dụ: Góc ném bóng rổ tối ưu

Góc ném tối ưu để bóng vào rổ: khoảng $45° - 52°$

Quỹ đạo bóng là parabol: $y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}$

🚢 Hàng hải & Hàng không

Định lý cosin và sin được dùng trong điều hướng, tính khoảng cách.

💡 Ví dụ: Tính khoảng cách bay

Máy bay bay từ A đến B (500km), rồi rẽ $120°$ đến C (300km). Khoảng cách AC?

AC = \sqrt{500^2 + 300^2 - 2 \cdot 500 \cdot 300 \cdot \cos(60°)} \approx 436 \text{ km}

📦 Đóng gói & Vận chuyển

Công thức thể tích giúp tối ưu hóa không gian đóng gói.

💡 Ví dụ: Container hàng hóa

Container 20 feet: kích thước bên trong $5.9m \times 2.35m \times 2.39m$

Thể tích: $V = 5.9 \times 2.35 \times 2.39 \approx 33.1 m^3$