📈 Giải Tích

Giới hạn, đạo hàm, tích phân và các ứng dụng

Trang chủ → Giải tích
🎯

Giới Hạn

📘 Định nghĩa

\lim_{x \to a} f(x) = L

Khi $x$ tiến đến $a$, $f(x)$ tiến đến $L$.

Giới hạn cơ bản

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e

Quy tắc tính giới hạn

\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x)
\lim [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x)
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} \quad (\lim g(x) \neq 0)
📐

Đạo Hàm

📘 Định nghĩa đạo hàm

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Đạo hàm các hàm cơ bản

(c)' = 0
(x^n)' = nx^{n-1}
(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}
(e^x)' = e^x
(a^x)' = a^x \ln a
(\ln x)' = \frac{1}{x}
(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

Đạo hàm hàm lượng giác

(\sin x)' = \cos x
(\cos x)' = -\sin x
(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x
(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)

Quy tắc tính đạo hàm

(u + v)' = u' + v'
(uv)' = u'v + uv'
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Quy tắc chuỗi:
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

💡 Ví dụ quy tắc chuỗi

Tính đạo hàm của $y = \sin(3x^2)$:

$y' = \cos(3x^2) \cdot (3x^2)' = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$

∫

Tích Phân

📘 Công thức Newton-Leibniz

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Trong đó $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$.

Nguyên hàm cơ bản

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C
\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

Nguyên hàm hàm lượng giác

\int \sin x\,dx = -\cos x + C
\int \cos x\,dx = \sin x + C
\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C
\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C

Tích phân từng phần

\int u\,dv = uv - \int v\,du

Cách chọn u và dv: Dùng quy tắc LIATE
• Logarithm (ln x, log x)
• Inverse trig (arcsin, arccos)
• Algebraic (x, x², ...)
• Trigonometric (sin, cos)
• Exponential (eˣ, aˣ)

Phương pháp đổi biến

\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

Với: $u = g(x)$ và $du = g'(x)\,dx$

🚀

Ứng Dụng Đạo Hàm

Phương trình tiếp tuyến

y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(x_0, y_0)$.

Cực trị hàm số

Điều kiện cần: $f'(x_0) = 0$

Điều kiện đủ (quy tắc 2):
• $f''(x_0) > 0$ ⟹ $x_0$ là điểm cực tiểu
• $f''(x_0) < 0$ ⟹ $x_0$ là điểm cực đại

Khoảng đơn điệu

Trên khoảng $(a, b)$:
• $f'(x) > 0$ ⟹ hàm số đồng biến (tăng)
• $f'(x) < 0$ ⟹ hàm số nghịch biến (giảm)

Khoảng lồi lõm

Trên khoảng $(a, b)$:
• $f''(x) > 0$ ⟹ đồ thị lõm (bụng hướng lên)
• $f''(x) < 0$ ⟹ đồ thị lồi (bụng hướng xuống)

Điểm uốn: Điểm mà tại đó $f''(x)$ đổi dấu.

🌍

Ứng Dụng Thực Tế Của Giải Tích

🚗 Vật lý - Vận tốc & Gia tốc

Đạo hàm cho ta vận tốc tức thời (đạo hàm của quãng đường theo thời gian).

💡 Ví dụ: Ô tô chuyển động

Quãng đường: $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (m)

Vận tốc: $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$ (m/s)

Gia tốc: $a(t) = v'(t) = 6t - 12$ (m/s²)

Xe dừng khi $v(t) = 0$ → $t = 1s$ hoặc $t = 3s$

📊 Kinh tế - Chi phí biên

Đạo hàm của hàm tổng chi phí cho ta chi phí để sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm.

💡 Ví dụ: Chi phí sản xuất

Tổng chi phí: $C(x) = 0.01x^3 - 0.3x^2 + 2x + 100$ (triệu đồng)

Chi phí biên: $C'(x) = 0.03x^2 - 0.6x + 2$

Chi phí sản xuất thêm sản phẩm thứ 21: $C'(20) = 12 - 12 + 2 = 2$ triệu

📈 Đồ thị Hàm số và Đạo hàm

Tương tác

So sánh đồ thị hàm số $f(x)$ (xanh) và đạo hàm $f'(x)$ (đỏ)

Chọn hàm số:

■ Hàm số $f(x)$

■ Đạo hàm $f'(x)$

💊 Y học - Nồng độ thuốc

Tích phân giúp tính tổng lượng thuốc được hấp thụ theo thời gian.

💡 Ví dụ: Thuốc trong máu

Tốc độ hấp thụ thuốc: $r(t) = 12e^{-0.2t}$ (mg/giờ)

Tổng lượng thuốc trong 5 giờ:

\int_0^5 12e^{-0.2t} dt = \left[-60e^{-0.2t}\right]_0^5 = 60(1 - e^{-1}) \approx 37.9 \text{ mg}

📐 Diện tích & Thể tích

Tích phân tính diện tích vùng giới hạn bởi đồ thị, thể tích vật thể tròn xoay.

💡 Ví dụ: Bể nước hình trụ

Thể tích bể nước khi xoay đường $y = \sqrt{x}$ quanh trục $Ox$ từ $x=0$ đến $x=4$:

V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi \text{ đơn vị}^3

🌡️ Dự báo thời tiết

Giới hạn được dùng trong các mô hình dự báo khi xét hành vi tiệm cận.

💡 Ví dụ: Nhiệt độ hội tụ

Nhiệt độ phòng theo thời gian: $T(t) = 25 + 10e^{-0.1t}$ (°C)

Nhiệt độ sau thời gian rất dài:

\lim_{t \to \infty} T(t) = \lim_{t \to \infty} (25 + 10e^{-0.1t}) = 25°C