🔢 Ma Trận

Định nghĩa, phép toán, định thức và ứng dụng với ví dụ tương tác

Trang chủ → Ma trận
📖

Định Nghĩa Ma Trận

📘 Ma trận là gì?

Ma trận cấp $m \times n$ là một bảng số gồm $m$ hàng và $n$ cột.

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

Ma trận vuông

Ma trận vuông cấp $n$ là ma trận có số hàng bằng số cột ($m = n$).

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Ma trận đơn vị

I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

Tính chất: $A \cdot I = I \cdot A = A$

➕

Các Phép Toán Ma Trận

Cộng hai ma trận

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Điều kiện: Hai ma trận phải cùng cấp (cùng số hàng và cột).

💡 Ví dụ

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}

Nhân ma trận với số

(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}

💡 Ví dụ

3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}

Nhân hai ma trận

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}

Điều kiện: Số cột của A = Số hàng của B.
Kết quả: Ma trận $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}$

💡 Ví dụ

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}

Ma trận chuyển vị

(A^T)_{ij} = a_{ji}

Đổi hàng thành cột và cột thành hàng.

💡 Ví dụ

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}
🧮

Công Cụ Tính Toán

🔢 Nhân 2 Ma Trận 2×2

Tương tác
Ma trận A
×
Ma trận B
Kết quả A × B
Nhấn "Tính A × B" để xem kết quả
📊

Định Thức (Determinant)

Định thức ma trận 2×2

\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Ghi nhớ: "Đường chéo chính trừ đường chéo phụ"

Định thức ma trận 3×3 (Quy tắc Sarrus)

\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3

Tính chất định thức

• $\det(A^T) = \det(A)$
• $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$
• $\det(kA) = k^n \cdot \det(A)$ (với A cấp n)
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$
• Nếu một hàng (cột) toàn số 0 thì $\det(A) = 0$
• Đổi chỗ 2 hàng (cột) thì định thức đổi dấu

📐 Tính Định Thức 2×2

Tương tác
Ma trận A
Định thức det(A)
Nhấn "Tính det(A)" để xem kết quả
🔄

Ma Trận Nghịch Đảo

📘 Định nghĩa

Ma trận $A^{-1}$ là nghịch đảo của $A$ nếu: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$

Điều kiện tồn tại: $\det(A) \neq 0$

Nghịch đảo ma trận 2×2

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Cách nhớ: Đổi chỗ đường chéo chính, đổi dấu đường chéo phụ, chia cho định thức.

💡 Ví dụ

A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{15-14} \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
🎨

Trực Quan Hóa Phép Biến Đổi

🔷 Biến đổi tuyến tính 2D

Tương tác

Xem ma trận biến đổi hình vuông đơn vị như thế nào!

Trước & Sau biến đổi
Ma trận biến đổi
Góc xoay 0°
Tỷ lệ 1.0
📝

Giải Hệ Phương Trình Bằng Ma Trận

📘 Dạng ma trận của hệ phương trình

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}

Viết gọn: $AX = B$

Giải bằng ma trận nghịch đảo

X = A^{-1}B

Điều kiện: $\det(A) \neq 0$

💡 Ví dụ

Giải hệ: $\begin{cases} 3x + 7y = 1 \\ 2x + 5y = 0 \end{cases}$

Bước 1: Viết dạng ma trận: $\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Bước 2: Tính $A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ (vì det = 1)

Bước 3: $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$

Kết quả: $x = 5, y = -2$

Công thức Cramer

x = \frac{D_x}{D} = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}
y = \frac{D_y}{D} = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}

Ghi nhớ: Thay cột hệ số của ẩn cần tìm bằng cột kết quả.

🌍

Ứng Dụng Thực Tế Của Ma Trận

🎮 Đồ họa máy tính & Game

Ma trận được sử dụng để biến đổi vị trí, xoay, và co giãn các đối tượng 2D/3D trong game và phần mềm đồ họa.

💡 Ví dụ: Xoay nhân vật trong game

Khi bạn xoay nhân vật 45° trong game, thực chất là nhân tọa độ với ma trận xoay:

R_{45°} = \begin{pmatrix} 0.707 & -0.707 \\ 0.707 & 0.707 \end{pmatrix}

📊 Kinh tế & Phân tích dữ liệu

Ma trận giúp mô hình hóa quan hệ giữa các biến kinh tế, phân tích đầu vào-đầu ra (Leontief model).

💡 Ví dụ: Chuỗi cung ứng

Một nhà máy sản xuất bánh mì cần:

  • 1 bánh: 2kg bột + 1 quả trứng
  • 1kg bột: 3000đ | 1 trứng: 2000đ

Để tính chi phí 100 bánh:

\begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3000 \\ 2000 \end{pmatrix} = 8000đ/bánh

🤖 Machine Learning & AI

Neural networks sử dụng phép nhân ma trận để truyền dữ liệu qua các lớp. Mỗi "neuron" là một phép nhân ma trận!

💡 Ví dụ: Neural layer đơn giản

output = \sigma(W \cdot input + b)

Trong đó $W$ là ma trận trọng số, $input$ là vector đầu vào, $\sigma$ là hàm kích hoạt.

📷 Xử lý ảnh

Các bộ lọc ảnh (blur, sharpen, edge detection) đều sử dụng phép nhân ma trận (convolution).

💡 Ví dụ: Kernel làm mờ ảnh

K_{blur} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

🖼️ Demo: Biến đổi ảnh với Ma trận

Tương tác

Xem ma trận biến đổi hình ảnh như thế nào (thử các preset bên dưới)

Trước biến đổi
→
Sau biến đổi

🔐 Mật mã học

Ma trận được dùng trong mã hóa Hill cipher để mã hóa tin nhắn.

💡 Ví dụ: Hill Cipher

Mã hóa "HI" (H=7, I=8) với khóa ma trận:

\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 45 \\ 54 \end{pmatrix} \mod 26 = \begin{pmatrix} 19 \\ 2 \end{pmatrix}

→ "TC" (T=19, C=2)